Resolución de Problemas con Sistema de Ecuaciones - Curso de Razonamiento Numérico

Tema 2: Ecuaciones y Problemas

2.4. Resolución de Problemas mediante un Sistema de Ecuaciones de Primer Grado.

2.4.1 Métodos de solución para un Sistema de Ecuaciones 2x2.
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales tenemos los siguientes métodos:
1) Métodos Algebraicos. 
   - Método de Igualación.
   - Método de Sustitución.
   - Método de Eliminación.
2) Método Gráfico.


2.4.2 Problemas Resueltos.
Problema 1
En una granja entre gallinas y cerdos se cuentan 100 patas y 35 cabezas. ¿Cuántos cerdos hay en la granja?
A) 15        B) 20      C) 25      D) 30       E) 35



Problema 2
De dos números que suman 240,  uno de ellos es el cuádruple del otro. Calcular el triple de la sexta parte del menor.
A) 48      B) 16       C) 42       D) 24       E) 8

Problema 3
Si tengo como mascotas: perros, gatos y canarios y además si todos son perros menos 8, todos son gatos menos 5, y todos son canarios menos 7, ¿cuántos perros tengo?
A) 2          B) 3         C) 4          D) 5

Planteo de Ecuaciones - Problemas Resueltos - Prepárate para la prueba ENES

Para resolver un problema mediante planteamiento de ecuaciones, en forma general, podemos seguir los siguientes pasos:
  1. Lectura del enunciado.
  2. Identificación de datos e incógnitas.
  3. Identificación de una relación entre datos e incógnitas llamada también: planteo de ecuación.
  4. Resolución de la ecuación.
  5. Verificación de los resultados obtenidos.
  6. Interpretación de los resultados.

Problemas resueltos en vídeo - Prepárate para el examen ENES
Problema 1
La suma de tres números impares consecutivos es igual a 99. Halle la suma de los dos números mayores.

A) 68

B) 69

C)65

D) 70

E) 66

Problema 2
Hallar cuatro números cuya suma sea 90. El segundo es el doble del primero, el tercero es el doble del segundo y el cuarto es el doble del tercero. ¿Cuáles son los números?
A) 8, 16, 32, 64     B) 5, 10, 20, 40     C) 6, 12, 24, 48     D) 10, 20, 40, 20

Problema 3
Al multiplicar un cierto número por 81 este aumenta en 154000. ¿Cuál es le dicho número?
A) 1500     B) 1925     C) 1230     D) 4000     E) 1845

Problema 4
Juan tiene el triple de la edad de Luis. Si Juan tuviera 9 años menos y Luis 21 años más, ambas edades serían iguales. La edad de Juan, en años, es:

A) 40

B) 45

C) 38

D) 48

E) 29

Problema 5
Si la diferencia de dos números es 14560 y el duplo del mayor es 60000 ¿En cuánto excede el  número 76543 al menor de los dos números?
A) 61103     B) 61983     C) 60000     D) 62104     E) 31103

Preguntas de Planteamiento de Ecuaciones - Edades

Preguntas Resueltas sobre Edades (Planteo de Ecuaciones)
Pregunta 1
Felipe tiene 44 años y la suma de las edades sus 4 hijos es 20 años. ¿Dentro de cuantos años la edad  de Felipe será la misma que la suma de las edades de sus hijos?

A) 6

B) 8

C) 20

D) 24

E) Nunca

Pregunta 2
La edad que tendré dentro de 20 años será 2 veces más que la edad que tuve hace 10 años ¿Qué edad tendré dentro de 5 años.

A) 20

B) 25

C) 30

D) 35

E) 40

Planteamiento de Ecuaciones - Edades

Problema 1
La suma de las edades de tres hijos es igual a la edad de su madre. Si la madre tiene 48 años,  y cada uno de los hijos tiene 2 años más que el anterior, ¿cuáles son sus edades?

A) 10; 12; 14

B) 12; 14; 16

C) 14; 16; 18

D) 16; 18; 20

Problema 2
Marilyn dice : "Dentro de 16 años mi edad será 4 veces la edad que tenía hace 14 años"
¿Qué edad tengo en años?
a) 26       b) 20       c) 18      d) 29       e) 24
Solución:
Edad actual: x
Edad hace 14 años: x - 14
Edad dentro de 16 años: x + 16
Del enunciado del problema:
 x + 16 = 4(x - 14)
 x + 16 = 4x - 56
 3x = 72
 x = 24
La edad de Marilyn es 24 años.


Problema 3
Dos de cinco hermanos están conversando:
 - Jaime dice: “Tengo 9 años y soy el menor de todos”.
 - Rafael dice: “Cada uno de nosotros es mayor en 2 años que el menor inmediato”.
Da como respuesta la suma de las edades de los cinco hermanos.
A) 65 años      B) 64 años      C) 66 años      D) 62 años

Problema 4
Hace 6 años tenía la  mitad  de  los años que  tendré dentro de 4 años. ¿Cuántos años tendré dentro de 10 años?
a) 28         b) 29        c) 32        d) 26       e) 18
Solución:
Mi edad actual: x
Mi edad hace 6 años: x - 6
Mi edad dentro de 4 años: x + 4
Del enunciado del problema:
 x - 6 = 1/2(x + 4)
2x - 12 = x + 4
x  = 16
Dentro de 10 años tendré 16 + 10 = 26 años.


Problema 5
Luis dice: “Si al doble de mi edad se le quita 10 años, se obtendrá lo que me falta para tener 26 años”. Indique cuántos años le faltan a Luis para cumplir el doble de la edad que tenía hace 5 años.
A) 1        B) 2       C) 5       D) 7       E) 12

Problema 6
La edad de Liliana es a la edad de Emilio como 4 es a 7. Dentro de 10 años Liliana tendrá el doble de la edad que tenía Emilio hace 5 años. ¿Cuántos años tiene Emilio?.
a) 12 años     b) 14 años    c) 9 años     d) 10 años   e) 21 años
Solución:
"La edad de Liliana es a la edad de Emilio como 4 es a 7"
  Edad de Liliana: 4k
  Edad de Emilio: 7k
"Dentro de 10 años Liliana tendrá el doble de la edad que tenía Emilio hace 5 años"
  Edad de Liliana dentro de 10 años: 4k + 10
  Edad de Emilio hace 5 años: 7k - 5
Del enunciado del problema:
 4k + 10 = 2(7k - 5)
  4k + 10 = 14k - 10
  10k = 20
      k = 2
"¿Cuántos años tiene Emilio?"
  Edad de Emilio: 7k = 7(2) = 14 años


Problema 7
Jorge le dice Jhony: "Hace 10 años mi edad excedía al doble de la tuya en 5 años. Si dentro de 15 años  mi edad será a la tuya como 3 es a 2, ¿qué edad tenías hace 5 años?"
A) 10 años     B) 15 años    C) 20 años     D) 25 años     E) 30 años
Solución:
Sea la edad actual de Jorge y Jhony: x, y
Edad hace 10 años de Jorge: x-10
Edad hace 10 años de Jhony: y-10
Deacuerdo al problema
=> x-10 = 2(y-10) + 5
Dentro de 15 años
=> (x+15)/(y+15) = 3/2
Resolviendo las ecuaciones tenemos que
=> x = 45,  y = 25
La edad de Jhony hace 5 años fue 25-5 = 20 años.


Problema 8
Cuando a Diana se le preguntó por su gatito, respondió: " hace 4 meses tenía la cuarta parte de los meses que tendrá dentro de 8 meses".  ¿Dentro de cuánto tiempo tendrá el triple de los meses que tenía hace 3 meses?
A) 5 meses     B) 6 meses    C) 7 meses     D) 8 meses    E) 9 meses


Problema 9
Hace 30 años, María tenía la sexta parte de la edad que tiene ahora. ¿Qué edad tendrá dentro de 4 años?
A) 21 años     B) 36 años    C) 30 años     D) 40 años     E) 32 años


Problema 10
Dentro de 10 años, la edad de Edgar será el doble de la de Blanca. ¿Cuál es la edad actual de Blanca, si hace 5 años la edad de Edagar era el quíntuplo de la edad de Blanca?
A) 15      B) 20        C) 10        D) 30        E) 40

Problemas Resueltos sobre Edades en PDF

Preguntas de Porcentajes - Planteamiento de Ecuaciones

La edad de patricio es el 40% de la de Orlando y hace 7 años la diferencia de sus edades era 30 años.  ¿Cuál será la edad de patricio dentro de 15 años?
A) 40 años    B) 30 años     C) 45 años     D) 35 años    E) 50 años



Problemas para practicar de Porcentajes
Problema 1
Se compró un DVD en $60 y se vendió haciendo un descuento del 20% y aún así se ganó 12 dólares. Halle el precio fijado.
A)  50        B) 70        C) 90       D)  100       E) 110
Solución:
Precio fijado: x
Costo: $60
Ganancia: $12
Descuento: 20% x = x/5
Se debe cumplir que:
=> Precio fijado = costo + ganancia + descuento
=> x = 60 + 12 + x/5
=> 5x = 72·5 + x
=> 4x = 72·5
=> x = 90
Respuesta: El precio fijado del DVD fue de 90 dólares.


Problema 2
Un artículo se vende con una ganancia del 25% del precio de costo más 25% del precio de venta. Si al final se gana S/. 200. ¿Cuánto es el precio de venta?
A)  500        B) 400        C) 300       D)  200       E) 100 
Solución:
Costo: 4a
Ganancia sobre el costo: 25%(4a) =  1/4(4a) = a
Precio de venta: 4b
Ganancia sobre el precio de venta: 25%(4b) = 1/4·(4b) = b
Como se ganó S/.200: a + b = 200
Sabemos que
=> Precio de venta = costo + ganancia total
=> 4b = 4a + (a + b)
=> a = 3/5b
 Reemplazamos
=> 3/5b + b = 200
=>  8/5b = 200
=> b = 125
Hallamos el precio de venta:
=> 4b = 4(125) = S/. 500
Respuesta: El precio de venta es S/.500



Problema 3
En un corral hay 50 aves, el 56% son pavos y el resto patos. Si se aumenta 18 patos y se retira 18 pavos. ¿Qué porcentaje representan los patos?
A)  90%        B) 80%        C) 70%       D)  60%       E) 50%
Solución:
Cantidad de pavos: 56%(50) = 28
Cantidad de patos: 50-28 = 22
Nueva cantidad de pavos: 28-18 = 10
Nueva cantidad de patos: 22 + 18 = 40
Porcentaje que representan los patos: 40/50·100% = 80%
Respuesta: Los patos representan el 80%.


Problema 4
En una fiesta el 30% del número de hombres es mayor que el 20% del número de mujeres en 120, siendo el número de mujeres el 30% del número de hombres. ¿Qué cantidad de hombres no bailan?, si sabe que el 50% de las mujeres que no bailan son tantas como las mujeres que están bailando.
A)  650        B) 500        C) 450       D)  400       E) 350 
Solución:
Número de hombres: 100x
Número de mujeres: 30%(100x) = 30x
Del enunciado:
=> 30%(100x) = 20%(30x) + 120
=> 30x = 6x + 120
=> x = 5
Entonces
Número de hombres: 100x = 100(5) = 500
Número de mujeres: 30%(100x) = 30x = 30(5) = 150
Luego:
Hombres que bailan: y
Hombres que no bailan: 500 - y
Mujeres que bailan: 50%(2y) = y
Mujeres que no bailan:  2y
=> y+ 2y = 150
=>  y = 50
Finalmente
Respuesta: Los hombres que no bailan son: 500 - y = 500 - 50 = 450


Problema 5
En un examen de admisión en que se requiere aprobar los 4 exámenes programados, solo el 15% de los postulantes podría ser admitido. Si solo se exigiera aprobar 3 de los exámenes, el numero de postulantes a admitir aumentaría en un 60% del numero anterior y totalizarían así 900 ingresantes. ¿Cuantos son los postulantes?
A)  1500        B) 1400        C) 1200       D)  1100       E) 1000
Solución:
Número de postulantes: x
Postulantes admitidos aprobando 4 exámenes: 15% x
Postulantes admitidos aprobando solo 3 exámenes: (15% +  60%)x = 75%x 
Del enunciado del problema:
=> 75%x  = 900
=> x  =1200
Respuesta: El número de postulantes es 1200.


Problema 6
En un colegio, el 40% de los alumnos son mujeres. El numero de mujeres aumento en 30% y el de los hombres disminuyo en 10% ¿ en que tanto por ciento ha variado el total de alumnos?
A)  2%        B) 4%        C) 6%       D)  -4%       E) -2%
Solución:
Total de alumnos: n
Cantidad  de mujeres: 40%n
Cantidad de hombres: 60%n
El número de mujeres aumentó en 30%:  40%n + 30%(40%n) = 52%n
El número de hombres disminuyó en 10%: 60%n - 10%(60%n) = 54%n
El nuevo total de alumnos: 52%n + 54%n = 106%n
Respuesta: La variación del total de alumnos es 106% - 100% = 6%.


Problema 7
Divide 110 en dos partes de forma que una parte sea el 150% de la otra. ¿Cuáles son los dos números?
A)  50 y 60       B) 45 y 65        C) 44 y 66       D)  40 y 70
Solución:
El primer número: x
El segundo número: 150%x = 1,5 x
Las dos números deben sumar 110, entonces
=> x + 1,5x = 110
=> 2,5x = 110
=> x = 44
Hallamos el otro número
=> 1,5(44) = 66
Respuesta: Los números son 44 y 66.


Problema 8
Si la longuitud de una circunferencia aumenta en 40%, ¿qué ocurre con el área del círculo?
A) Aumenta 95%
B) Aumenta 120%
C) Aumenta 12%
D) Aumenta 144%
E) Aumenta 30%


Problema 9
El precio de un artículo se rebaja en 20% para volverlo al precio original el nuevo precio se debe aumentar en:
A) 25%        B) 20%       C) 24%       D) 30%       E) 50%


Problema 10
Si jorge tuviera el 25% más de la edad que tiene tendría 65 años. ¿Qué edad tuvo hace 4 años?
A) 56 años      B) 48 años      C) 46 años      D) 42 años      E) 52 años



Preguntas de Porcentajes

Planteo de Ecuaciones literales

Preguntas resueltas de Planteo de Ecuaciones Literales
Una ecuación literal es aquella en la que una o más de las cantidades conocidas se representan mediante el uso de letras en lugar de números.
Ejemplo:  a + bx = dy + c
Por lo general, las cantidades conocidas se representan con las primeras letras del alfabeto a, b, c... y las incógnitas con las letras finales x, y, z.  Este tipo de ecuaciones, lo podemos encontrar en fórmulas de geométria perímetros, áreas, volúmenes, etc. donde se hace uso de literales.

Pregunta 1
En un examen, un alumno gana “a” puntos por cada respuesta correcta y pierde “b” puntos por cada respuesta equivocada. Después de haber  contestado “n” preguntas, obtiene “c” puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?
A) (an+c)/(a-b)             B) (bn+c)/(a+b)                       C) (bn+c)/(a-c)
D) (an+c)/(a+b)            E) (bn+c)/(a+b)



Pregunta 2
Un hombre gana "d" dólares por semana y gasta "s" a la semana ¿En cuantas semanas tendrá "q" dólares?

A) d-s

B) q/(d-s)

C) (d-s)/q

D) d-q

E) (d-q)/s

Problemas sobre Planteamiento de Ecuaciones e igualdades

Razonamiento Numerico: Problemas con Planteamiento de Ecuaciones.

El plantear una ecuación significa que el enunciado de cualquier problema que se tenga hay que interpretarlo, entenderlo y una vez comprendido, hay que expresarlo en una ecuación matemática, lo cual dará solución al problema planteado.

Problema 1
La edad de Cristina es un tercio de la de su padre y dentro de 16 años será la mitad, entonces la edad de Cristina es:

a) 16 años

b) 24 años

c) 36 años

d) 48 años

Problema 2
La suma de dos números es 24. Tres veces el mayor excede en dos unidades a cuatro veces el menor. Hallar los números.

a) 14 y 16

b) 8 y 14

c) 20 y 10

d) 14 y 10

Problema 3
La suma de A más B es 116. A es 3 menos que C y al mismo tiempo A es 4 más que B. ¿Qué número es C?

a) 63

b) 58

c) 65

d) 67

Problema 4
El señor A debe al señor B, $80 y el señor B debe al señor A, $60. Si el señor A da al señor B un billete de $50. ¿cuántos dólares de vuelto debería darle el señor B al señor A?

A) 10

B)20

C)30

D) 40

E)60

Problema 5
Dos veces el área de un cuadrado de lado L es igual a cuatro veces el área de un triángulo de altura L. ¿Cuál es la base del triángulo?

a) 2L

b) L

c) 1/2L

d) 2L/2

Problema 6
Si a la cuarta parte de los 2/5 de un número, se le agrega los 2/5 de sus 3/8 y se resta los 3/8  de su quinta parte, se obtiene 21. ¿Cuál es el número?

A) 100

B) 110

C) 120

D) 130

E) 140

Problema 7
¿Cuál es el número cuyo 2/5 equivale a 50?

A) 83

B) 135

C) 120

D) 125

Problema 8
Juan tiene los 5/6 de lo que tiene Pedro. Si Juan recibe $80 de Pedro, éste tiene los 2/5 de lo de Juan.  ¿Cuánto tiene Pedro?

A) $100

B) $138

C) $168

D) $200

Problema 9
Hallar el mayor de dos números tales que su suma sea 100 y su cociente 4.
A)20             B)40             C)60           D)80      E)100



Problema 10
Si 80 excede a 60 en 2x, hallar “x”:
A) 8        B) 5      C) 10      D) 4      E) 6
Solución:
Nos dice que 80 excede, significa que es mayor, ¿y a quien excede?, nos dice a 60,  ¿y en cuanto?, nos dice en 2x , identificamos y planteamos:
Cantidad mayor = 80, Cantidad menor = 60, Exceso = 2x
=> 80-60 = 2x
=> 20 = 2x
=> x = 10


Problema 11
Un número excede a 10 tanto como es excedido por 40. ¿hallar el número?
A) 18       B) 25      C) 10      D) 44      E) 26
Solución:
Nos indica que el numero desconocido excede a 10, osea el numero  es mayor que 10 tanto (en la misma cantidad o igual), como la cantidad es menor que 40.
Sea “x” la cantidad desconocida, entonces:
=> Un numero excede a 10: x-10,
=> Es excedido por  40: 40-x
Planteamos la ecuación:
=> x-10 = 40-x
=> 2x = 40 + 10
=> 2x = 50
=> x = 25
Por lo tanto: dicho numero es “25”


Problema 12
El exceso del triple de un numero sobre 42 equivale al exceso de 226 sobre el numero. ¿Cuál es el número?
A) 82      B) 65      C) 40       D) 67      E) 16
Solución:
Seal x el numero desconocido.
El exceso del triple de un numero sobre 42:  3x - 42
El xceso de 226 sobre el numero:  226 – x
Entonces podemos plantear:
=> 3x – 42 = 226 – x
=> 4x = 268
=> x = 67


Problema 13
Hallar dos números sabiendo que uno excede al otro  en  8  unidades  y  que  el  menor  es  35
unidades menos que el doble del mayor
A)18 y 10      B)15 y 20      C) 32 y 12    D) 24 y 27    E) 19 y 27
Solución:
Como  nos  dicen  que  uno  de  los  números excede al otro en 8, entonces sean los números:
- numero menor: x
- numero mayor: x + 8
Según el  enunciado:
=> x = 2(x + 8) – 35
=> x = 2x + 16 –35
=> x = 19


Problema 14
En un examen aprobaron 2/3 de los niños y 3/4 de las niñas;  además el examen lo aprobaron el mismo numero de niños que de niñas. El mínimo numero posible de estudiantes en la clase es:

A) 17

B) 24

C) 27

D) 14