Leyes de exponentes Ejercicios Resueltos

Ejercicios Resueltos de Leyes de Exponentes
El concepto de exponente es de mucha utilidad para expresar números en una forma más corta. Por ejemplo: el producto 3×3×3×3 se expresa de la forma 3⁴ y se lee “tres a la cuarta”. La expresión 3×3×3×3 está en la forma expandida y la expresión 3⁴ es una expresión exponencial. El valor 81 es la cuarta potencia de 3.

Definición: aⁿ = a×a×a×... ×a    (a multiplicado n veces)
La letra a se llama la base, y a la letra n se le llama la potencia o exponente. La expresión aⁿ se lee “a elevada a la n”.
Veamos algunos ejemplos:
   2³ = 2×2×2                         (base: 2   exponente: 3)
   5⁷ = 5×5×5×5×5×5×5         (base: 5   exponente: 7)
   y⁶ = y×y×y×y×y×y             (base: y   exponente: 6)

Aquí están las principales leyes de exponentes:

Ley	Ejemplo
x1 = x	61 = 6
x0 = 1	70 = 1
x-1 = 1/x	4-1 = 1/4
xmxn = xm+n	x2x3 = x2+3 = x5
xm/xn = xm-n	x4/x2 = x4-2 = x2
(xm)n = xmn	(x2)3 = x2×3 = x6
(xy)n = xnyn	(xy)3 = x3y3
(x/y)n = xn/yn	(x/y)2 = x2 / y2
x-n = 1/xn	x-3 = 1/x3

Ejercicio #1
El valor de 5⁴³ - 5⁴² es igual a:

A) 4(5)43

B) 5(5)42

C) 4(5)42

D) 5

Ejercicio #2



Ejercicio #3



Ejercicio #4



Ejercicio #5



Ejercicio #6
Simplificar la expresión:

Solución:
El exponente externo afecta a cada término dentro de las llaves y los corchetes, luego como hay potencia de potencia, se efectua la multiplicación de los exponentes y finalmente se suman los exponentes:

Efectuando operaciones:

Ejercicio #7
Simplificar la expresión:

Solución:
Trabajamos en primer lugar en el denominador para simplificar la expresión, aplicando la propiedad de convertir la raíz en exponente fraccionario, luego sumamos los exponentes de bases iguales, tambien el número 4 lo escribimos como potencia de 2 y finalmente simplificamos el exponente con la raíz exterior.

Reemplazamos en la expresión original y simplificamos:  

Ejercicio #8
Calcular:

Solución:
Primero trabajamos en el denominador aplicando la propiedad del exponente negativo.

Luego sumamos las fracciones, sacando el denominador comun:

Como en el denominador tenemos el mismo exponente para 5, 2 y 3; entonces escribimos un solo exponente, además se puede simplificar un extremo con un medio:

Simplificamos el índice de la raíz con el exponente:

Ejercicio #9
Resolver:

Solución:
Primero separamos los exponentes donde aparecen sumas

Luego realizamos el siguiente cambio de variable: a = 2ⁿ, b = 5ⁿ y simplificamos la expresión:

Reponiendo el valor de a = 2ⁿ y simplificando tenemos que:

Ejercicio #10
Hallar el valor de E:

Utilizando la definición de exponente cada expresión se reduce a:

Ahora aplicando las distintas propiedades de teoría de exponentes tenemos que:

Dato curioso: El inventor de la moderna notación de exponentes fue el matemático ingles John Wallis (1616-1703). La utilización de exponentes es fundamental en el manejo de los números enteros, puesto que permite expresar cantidades muy grandes en forma abreviada.